Introduction à Théorie de la mesure

Comprendre la définition de tribu

Si comme moi les premières fois, vos sourcils se contractent quand vous voyez la définition d’une tribu et que vous vous dites “Mais diantre ! Pourquoi a-t-on besoin d’un tel objet ? Que signifie cette sorcellerie ? D’où cela vient-il ?“, cet article est pour vous. Nous allons proposer une interprétation intuitive de la définition d’une tribu. 

La théorie de la mesure sert notamment de fondement et de méthode pour construire une théorie des probabilités. Cette approche est appelée axiomatisation de Kolmogorov (il en existe d’autres comme celle de Jaynes-Cox)

Notons d'abord deux choses : D'une part que la notion d'événement est fondamentale  en théorie des probabilités et que celle d'ensemble est fondamentale en mathématique en général.  On peut donc se poser la question, comment représenter des événements avec des ensembles. 

Avec des tribus bien sur ! 

Regardons rapidement les propriétés “naturelles” des événements. Supposons que nous soyons dans un univers où il peut advenir les événements suivants : il pleut, il y a des nuages et le chien aboie. 

Vous êtes d’accord que si “il pleut” et “le chien aboie” sont des événements, alors l’événement “il pleut et le chien aboie” est également un événement de notre univers. Notons ce souhait (I). 

De même, vous serez d’accord que si un événement comme “il y a des nuages” ou  “le chien aboie et il pleut” sont des événements, il est également naturel de vouloir que leur négation soit également des événements de l’univers. C’est-à-dire que,  “il n’y a pas de nuage” et “le chien n’aboie pas ou il ne pleut pas” le soient (II).

Et enfin vous souhaitez également que si A et B sont des événements, “A ou B” en soit un aussi (III).

Et la vous me voyez venir gros comme une maison, on est en train de retrouver les axiomes d’une tribu ! 

En effet, en considérant un ensemble d’événement X. Une tribu est un sous ensemble des ensembles de X noté  $ \Sigma  $ obéissant à trois propriétés. 

Les événements sont les éléments de la tribu. En effet si on se restreignait à X, on ne pourrait pas les combiner et avoir (I), (II) et (III). 

La seconde propriété de la définition $ A \in \Sigma \rightarrow \bar{A} \in \Sigma $ correspond simplement à (II).

Enfin la troisième partie de la définition $A_1, A_2, …, A_n \in \Sigma \rightarrow \cup A_i \in \Sigma$ permet d'obtenir (II). le souhait (I) s'obtient également à partir de la troisième partie de la définition.

On voit donc qu’une tribu peut être vue comme la représentation formelle d'une collection d'événements à l'aide d'ensembles !